数一高数：高等数学预备知识

函数的概念与特性

函数

一个$x$只对应一个$y$值。

反函数

严格单调函数必有反函数。

函数的四种特性

有界性

单调性

讨论方法：

①. 求导

②. 定义法：对任何$x_1,x_2∈D$，$x_1\ne x_2$，则

$$f(x)是单调增函数\leftrightarrow (x_1-x_2)[f(x_1)-f(x_2)]\gt 0\\ f(x)是单调减函数\leftrightarrow (x_1-x_2)[f(x_1)-f(x_2)]\lt 0\\ f(x)是单调不减函数\leftrightarrow (x_1-x_2)[f(x_1)-f(x_2)]\ge 0\\ f(x)是单调不增函数\leftrightarrow (x_1-x_2)[f(x_1)-f(x_2)]\le 0\\$$

奇偶性

• $F_1(x)=f(x)-f(-x)$必为奇函数，$F_1(x)=f(x)+f(-x)$必为偶函数；

• 任何一个函数可以表示为一个奇函数和一个偶函数之和；

• 奇函数$y=f(x)$关于原点对称，当其在$x=0$处有定义时，必有$f(0)=0$；

• 偶函数$y=f(x)$关于$y$轴对称，当$f’(0)$存在时，必有$f’(0)=0$；
• $y=f(x)$关于直线$x=T$对称的充分必要条件为：

$$f(x)=f(2T-x)或f(T+x)=f(T-x)$$

周期性

☆☆☆关于上述四种特性的一些重要知识点：

①. 函数求导奇偶性改变；

②. $f(x)$可导且周期为$T$，则$f’(x)$也是以$T$为周期的周期函数；

③. 连续的奇函数的一切原函数都是偶函数；

④. 连续的偶函数的原函数中仅有一个原函数是奇函数；

⑤. 若连续函数$f(x)$以$T$为周期且$\int_0^Tf(x)dx=0$，则$f(x)$一切原函数也以$T$为周期；

⑥. 若$f(x)$在有限区间$(a,b)$内可导且$f’(x)$有界，则$f(x)$在$(a,b)$内有界。

函数的图像

对数函数常用公式：$x=e^{lnx}$，$u^v=e^{lnu^v}=e^{vlnu}(x>0,u>0)$。

直角坐标系下（$f(x,y)=0$）

正切和余切函数

$$tanx=\frac{sinx}{cosx},cotx=\frac{cosx}{sinx}=\frac{1}{tanx}$$

正割函数和余割函数

$$secx=\frac1{cosx},cscx=\frac1{sinx}$$

反正弦函数与反余弦函数

$$arcsinx+arccosx=\frac{π}2(-1\le x\le 1)$$

反正切函数与反余切函数

$$arctanx+arccotx=\fracπ2(-\infty<x<+\infty)$$ $$\arctan x+\arctan \frac1x=\begin{cases} \frac\pi2&,{x>0}\\ -\frac\pi2&,{x<0} \end{cases}$$

三个重要的分段函数

绝对值函数

$$y=|x|=\begin{cases} x,{x\ge 0}\\ -x,{x\lt 0} \end{cases}$$

符号函数

$$y=sgnx=\begin{cases} 1,{x>0}\\ 0,{x=0}\\ -1,{x<0} \end{cases}$$

对于任何实数$x$，都有$x=|x|sgnx$。

取整函数

$$y=[x]$$ $$x-1<[x]\le x$$

极坐标系下的图像（$g(r,\theta)=0$）

心形线

$$r=a(1-cos\theta)(a>0)$$

玫瑰线

$$r=asin3\theta(a>0)$$

阿基米德螺线

$$r=a\theta(a>0,\theta\ge 0)$$

伯努利双纽线

设定线段$AB$长度为$2a$，动点$M$满足$MA·MB=a^2$，那么$M$的轨迹称为双纽线。其极坐标方程为：

$$r^2=a^2cos2\theta或r^2=a^2sin2\theta$$

参数法——参数方程（$\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\end{cases}$）

摆线

当一个圆沿一条定直线作无滑动的滚动时，动圆圆周上一个定点的轨迹叫做摆线。

$$\begin{cases} x=r(t-sint)\\ y=r(1-cost) \end{cases}$$

星形线

一个小圆$J$在一个固定的大圆$K$内部作纯滚动，如果大圆半径$r$是小圆半径的$4$倍，那么小圆圆周上任一点$M$的轨迹称为星形线。

$$\begin{cases} x=rcos^3t\\ y=rsin^3t \end{cases}$$

常用基础知识

数列

等差数列

通项公式：$a_n=a_1+(n-1)d$

前$n$项的和：$S_n=a_1n+\frac{n(n-1)}2d=\frac n2(a_1+a_n)$

等比数列

通项公式：$a_n=a_1r^{n-1}$

前$n$项的和：$S_n=\begin{cases}na_1,&r=1\\\frac{a_1(1-r^n)}{1-r},&{r\ne 1}\end{cases}$

一些常见数列前$n$项的和

$$\sum_{k=1}^nk=\frac{n(n+1)}2$$ $$\sum_{k=1}^nk^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$ $$\sum_{n=1}^{+\infty} \frac1{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$$

三角函数

$$1+tan^2\alpha=sec^2\alpha \ \ \ \ \ \ \ \ 1+cot^2\alpha=csc^2\alpha$$ $$sin(3\alpha)=-4sin^3\alpha+3sin\alpha \ \ \ \ \ cos(3\alpha)=4cos^3\alpha-3cos\alpha$$ $$tan(2\alpha)=\frac{2tan\alpha}{1-tan^2\alpha} \ \ \ \ cot(2\alpha)=\frac{cot^2\alpha-1}{2cot\alpha}$$ $$tan\frac{\alpha}{2}=\frac{1-cos\alpha}{sin\alpha}=\frac{sin\alpha}{1+cos\alpha}\ \ \ \ cot\frac{\alpha}2=\frac{sin\alpha}{1-cos\alpha}=\frac{1+cos\alpha}{sin\alpha}$$ $$tan(\alpha\pm\beta)=\frac{tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp tan\alpha tan\beta}\ \ \ \ cot(\alpha\pm\beta)=\frac{cot\alpha cot\beta\mp 1}{cot\beta \pm cot\alpha}$$

和差化积、积化和差重要但此处略。

万能公式：若$t=tan\frac x2(-π<x<π)$，则:

$$sinx=\frac{2t}{1+t^2},cosx=\frac{1-t^2}{1+t^2}$$

因式分解公式

$$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 \ \ \ \ \ \ \ \ \ (a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$$ $$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\ \ \ \ \ \ \ \ \ a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$$

常用不等式

①. 设$a$,$b$为实数，则$|a\pm b|\le|a|+|b|$，$||a|-|b||\le|a-b|$。

②. $\sqrt{ab}\le \frac{a+b}2\le \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}(a,b>0)$

③. $sinx<x<tanx(0\lt x\lt \fracπ2)$

④. $sinx\lt x,（x\gt 0）$

⑤. $arctanx\le x\le arcsinx(0\le x\le 1)$

⑥. $e^x\ge x+1(\forall x)$

⑦. $x-1\ge \ln x(x>0)$

⑧. $x>0$时，$\frac{x}{1+x}<\ln (1+x)\lt x$