微波技术 第三章 微波传输系统
3.2 规则波导中的导行电磁波
3.2.1 分解麦克斯韦方程组
无源麦克斯韦方程组:
①. 分解$\nabla$算子
其中用到$\frac{\partial}{\partial z}→-j\beta$,假定电磁波沿z方向传播。
②. 分解电磁场幅度:
六个方程(通过上面的式子进行推导):
解前两个方程将得到电磁场幅度横向分量与纵向分量的关系;
解后四个方程将得到描述电磁场幅度纵向分量的亥姆霍兹方程。
3.2.2 纵向分量与横向分量的关系
电磁场横向分量的表达式(推导:上面六个方程中的第二个左叉乘$\vec z$,然后与第一个联立):
根据$\hat z×\nabla_TE_z=-\hat x\frac{\partial E_z}{\partial y}+\hat y\frac{\partial E_z}{\partial x}$,将电磁场横向分量写成矩阵的形式(推导):
其中$k=\omega\sqrt{\epsilon \mu}=\frac{\omega}{v}=\frac{2\pi}{\lambda}$是电磁波在自由空间中传输的波数。
$\epsilon$和$\mu$分别表示介电常数和磁导率,$\lambda$是电磁波在自由空间中传输的波长。
$\beta=\frac{2\pi}{\lambda_g}$(相位常数)是电磁波在波导或传输线中传输的波数,$\lambda_g$是电磁波在波导中传输的波长。
$k_c=\sqrt{k^2-\beta^2}=\sqrt{\omega^2\epsilon\mu-\beta^2}=\frac{2\pi}{\lambda_c}$是电磁波在自由空间或波导中传输的截止波数。$\lambda_c$是截止波长。
自由空间中,$k=\beta,k_c=0$
依据具体的边界条件求解$E_z$和$H_z$,对应的模式如下:
3.2.3 纵向分量
亥姆霍兹方程组(推导:将横向分量$\vec E_T,\vec H_T$代入后四个表达式):
根据波导的边界条件,可得$E_z$和$H_z$,再根据纵向分量与横向分量的关系得出$E_T$和$H_T$。
3.2.4 推导过程小结
电磁场各个分量的推导过程:
①. 将电磁场分解成横向分量$E_T、H_T$和纵向分量$E_z、H_z$;
②. 代入麦克斯韦方程组,转化成六个描述横向分量与纵向分量的方程;
③. 根据前两个方程得出电磁场横向分量与纵向分量的一般关系;
④. 代入余下四个方程,得出描述电磁场纵向分量的亥姆霍兹方程;
⑤. 根据波导的边界条件可得$E_z$和$H_z$,之后可得$E_T$和$H_T$。
3.3 矩形波导中的导行波
3.3.1 横电磁模(TEM模)
对于TEM模,$E_z=H_z=0$,此时有
真空中$TEM$模的波阻抗为:
在TEM模式下,
波导不能传输TEM模。(为什么?[2020年考过])
原因:磁力线是闭合的,若要传输TEM模,需满足$H_z=0$,即磁场只能分布在X-Y平面上。根据麦克斯韦-安培定律:
可知轴向上的电流或者变换的电场将在$X-Y$平面上产生磁场。因为波导无源,所以$\vec J=0$。$\nabla×\vec H=\epsilon \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$意味着z方向上的电场$E_z$产生X-Y平面上的磁场。又因为TEM波$E_z=0$,所以空心波导不能传输TEM模。
3.3.2 恒电模(TE模)
对于TE模,$E_z=0,H_z\ne 0$。TE模的场分量表达式为(推导…):
其中$a,b$取决于边界条件,$m,n$的取值对应着$TE_{mn}$模的模式($m,n$不能同时为0,否则全部的场分量都为零,这是没有意义的),$A_{mn}$为不确定的常数。
截止波数:
截止频率:
相位常数:
工作频率$f\gt f_c$,$\beta$是实数,微波信号可以在波导中传输;
工作频率$f\le f_c$,$\beta$是虚数,微波信号不能在波导中传输。
群速度:考虑到$\omega^2=\omega_c^2+\beta^2c^2$,则有$2\omega d\omega=2c^2\beta d\beta$,有
相速度:等相位面$(\omega t-\beta z=constant)$移动的速度:
TE模的波阻抗:
3.3.3 $TE_{10}$模
$TE_{10}$模:$m=1,n=0$,其电磁场分量为:
截止波数和截止波长:
截止特性:$\lambda\le \lambda_c=2a$
相位常数:
$TE_{10}$模流过波导的平均功率为 (推导):
$TE_{10}$模的场分布
3.3.4 TM模
对于TM模,$E_z\ne 0,H_z= 0$。TM模的场分量表达式为(推导…):
其中$a,b$取决于边界条件,$m,n$的取值对应着$TM_{mn}$模的模式(与$TE$模不同的是,$TM$需满足$m\ne 0$且$n\ne0$,否则场分量全为0,没有意义),$B_{mn}$为不确定的常数。
3.3.5 $TM_{11}$模
$TM_{11}$模是截止频率最低的$TM$模:$m=1,n=1$,其电磁场分量为:
截止波数:
相位常数:
流过波导的平均功率:
3.3.6 矩形波导的简并模式与工作频段
简并模式:当$m\gt 0$和$n\gt 0$时,$TE_{mn}$模和$TM_{mn}$模有相同的截止频率,在同一频率$\omega$下,有相同的相位常数$\beta$,即为简并模式。
二者的截止频率均是:
微波在波导中传输,工作频率$f$要高于截止频率$f_c$。用波长表示相位常数$\beta=\frac{2\pi}{\lambda}\sqrt{1-(\frac{\lambda}{\lambda_c})^2}$,当工作波长$\lambda$小于某个模式的截止波长$\lambda_c$时,$\beta>0$,此模式可在波导中传输。
3.4 圆波导中的导行波
3.4.1 圆波导
极坐标下的亥姆霍兹方程(推导):
将算符$\nabla_T^2$从直角坐标系转化到极坐标系:
3.4.2 圆波导中的TE模
电磁场横向分量为:
$TE_{nm}$模的传播常数为:
对应的截止频率为:
波阻抗为:
3.4.3 圆波导中的TM模
电磁场横向分量为:
$TM_{nm}$模的传播常数为:
对应的截止频率为:
波阻抗为: