数一高数 第二章:导数与微分
一、导数与微分的概念
1. 导数的概念
定义:设函数$y=f(x)$在$x_0$的某邻域内有定义,如果极限
存在,则称$f(x)$在点$x_0$处可导,此极限值为$f(x)$在$x_0$处的导数。
等价形式:
左导数,右导数
函数$f(x)$在点$x_0$处可导的充要条件是在该点处左导数与右导数都存在且相等。
2. 微分的概念
定义:设函数$y=f(x)$在点$x_0$的某一邻域内有定义,如果函数的增量$△y=f(x_0+△x)-f(x_0)$可以表示为:
其中$A$为不依赖与$△x$的常数,则称函数$f(x)$在点$x_0$处可微, $A△x$为函数$f(x)$在点$x_0$处相应与自变量增量$△x$的微分,$dy=A△x$
定理:可微和可导互为充要条件。
若$f(x)$在点$x_0$处可微,则在点$(x_0,y_0)$附近可以用切线段近似代替曲线段。
3. 导数和微分的几何意义
导数的几何意义:斜率。
在一点上可导,此点上必有切线存在,反之不一定,例如$y=x^{\frac13}$在$(0,0)$处。
微分的几何意义:切线上的增量。
4. 连续、可导、可微之间的关系
由逆否命题知,函数不连续→不可导、不可微
强化:函数在$x=x_0$处可导,则函数在$x=x_0$处连续,但在$x=x_0$的某一邻域内不一定连续,因为这样需要保证在此邻域内的点处处可导,反例:
此函数仅在$x=0$处连续。
二、导数公式及求导法则
1. 基本求导公式
2. 隐函数求导法
从方程两边对$x$求导,可得到一个含有$y’$的方程,从中解出$y’$
3. 反函数求导法
设$y=f(x)$可导,且$f’(x)\ne 0$,则存在反函数$x=\varphi(y)$,且
4. 参数方程求导法
$\varphi’(t)\ne 0$,则
5. 对数求导法
对于多项相乘、相除、开放、乘方的式子,一般先取对数再求导。(或化成指数)
6. 变限积分求导公式
设$F(x)=\int^{\varphi_2(t)}_{\varphi_1(t)}f(t)dt$,其中$f(x)$在$[a,b]$上连续,可导函数$\varphi_1(x)$和$\varphi_2(x)$的值域在$[a,b]$上,则在函数$\varphi_1(x)$和$\varphi_2(x)$的公共定义域上,有
三、高阶导数
定义式:
莱布尼茨公式:
常见函数的高阶导数:
技巧知识点
①. 若$x∈(x_0-\delta,x_0+\delta),x\ne x_0$时$f(x)=g(x)$,则$f(x)$与$g(x)$在$x=x_0$处不一定具有相同的可导性。例如:
②.$n$为奇数时,$x^n+1=(x+1)(x^{n-1}-x^{n-2}+…-x+1)$
$n$为偶数时,$x^n-1=(x+1)(x^{n-1}-x^{n-2}+…+x-1)$
③. (李正元P47 例2.23、24)设$g(x)$在$x=a$可导,$\varphi(x)$在$x=a$连续而不可导,则$g(x)\varphi(x)$在$x=a$处:
④. 设$f(x)$在$x=0$处连续,则$\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(-x)}{2x}=0$存在不能说明$f(x)$在$x=0$处可导,例子:$f(x)=|x|$;$\lim_{x\to \infty}xf(\frac1x)$可以说明$f(x)$在$x=0$处可导,且满足$f(0)=0$
⑤. 平面曲线$C$的参数方程为:$\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t) \end{cases}(\alpha\le t\le\beta)$,则曲线$C$在点$M_0(x_0,y_0)((x_0,y_0)=(x(t_0),y(t_0)))$处的切线方程与法线方程为: