数一高数 第三章:微分中值定理及导数应用
一、微分中值定理
费马定理
设函数$f(x)$在点$x_0$处可导,如果函数$f(x)$在点$x_0$处取得极值,那么$f’(x_0)=0$
罗尔定理
如果$f(x)$满足以下条件:
- 在闭区间$[a,b]$连续
- 在开区间$(a,b)$可导
- $f(a)=f(b)$
则在$(a,b)$内至少存在一点$ξ$,使得$f’(ξ)=0$
强化:①. 一般的,闭区间连续,开区间$n$阶可导,在闭区间中不同的$n+1$个点取相同的函数值,则$\exists ξ∈(a,b)$使得$f^{(n)}(ξ)=0$。
②. 一般的,闭区间连续,开区间n阶可导,若$f^{(n)}(x)$在$(a,b)$无零点,则$f(x)$在$(a,b)$上至多有$n$个不同的零点。
拉格朗日中值定理
如果$f(x)$满足以下条件:
- 在闭区间$[a,b]$连续
- 在开区间$(a,b)$可导
则在$(a,b)$内至少存在一点$ξ$,使得:
推论:如果在$(a,b)$内恒有$f’(x)=0$,则在$(a,b)$内$f(x)$为常数。
柯西中值定理
如果$f(x)$,$F(x)$满足以下条件:
- 在闭区间$[a,b]$连续
- 在开区间$(a,b)$可导
- $F’(x)$在$(a,b)$内每一点处均不为零
则在$(a,b)$内至少存在一点$ξ$,使得:
皮亚诺型余项泰勒公式
如果$f(x)$在点$x_0$有直至$n$阶的导数,则有
称$R_n(x)=o(x-x_0)^n$为皮亚诺型余项, 若$x_0=0$,则得麦克劳林公式。
拉格朗日型余项泰勒公式
设函数$f(x)$在含有$x_0$的开区间$(a,b)$内有$n+1$阶的导数,则当$x∈(a,b)$时有
其中:
这里$ξ$介于$x_0$与$x$之间,称为拉格朗日型余项。
几个常用的泰勒公式(拉格朗日型余项):
以上$\theta$满足$\theta ∈(0,1)$
二、导数应用
1. 函数的单调性
$f’(x)>0$单调递增,$f’(x)<0$单调递减
2. 函数的极值
极大值,极小值,极值点。
导数为零的点称为函数的驻点。
极值的必要条件:设$y=f(x)$在点$x_0$处可导,如果$x_0$为$f(x)$的极值点,则$f’(x_0)=0$
极值的第一充分条件:设$y=f(x)$在点$x_0$的某去心邻域内可导, 且$f’(x_0)=0$(或$f(x)$在$x_0$点连续),
- 若$x<x_0$时, $f’(x)>0$,若$x>x_0$时,$f’(x)<0$,则$x_0$为$f(x)$的极大值点;
- 若$x\lt x_0$时, $f’(x)\lt 0$,若$x\gt x_0$时,$f’(x)\gt 0$,则$x_0$为$f(x)$的极小值点;
- 若$f’(x)$在$x_0$的两侧同号,则$x_0$不为$f(x)$的极值点。
极值的第二充分条件:如果$f’(x_0)=0$,看$f’’(x)$,$f’’(x)<0$极大值点,$f''(x)>0$极小值点,$f’’(x)=0$不能判定。
3. 函数的最大值与最小值
略
4. 曲线的凹凸性
凹凸性
定义:设函数$f(x)$在区间$I$上连续,恒有
特别地有:$f(\frac{x_1+x_2}{2})<\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$
则称$f(x)$在$I$上的图形是凹的;如果恒有
特别的有:$f(\frac{x_1+x_2}{2})>\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$
则称$f(x)$在$I$上的图形是凸的。
定理:$f’’(x)>0$凹,$f’’(x)<0$凸。
拐点
连续弧上凹与凸的分界点。
拐点的必要条件:设$y=f(x)$在点$x_0$处二阶可导,且点$(x_0,f(x_0))$为曲线$y=f(x)$的拐点,则$f’’(x_0)=0$
拐点的第一充分条件:设$y=f(x)$在点$x_0$的某去心邻域内二阶可导, 且$f’’(x_0)=0$(或$f(x)$在$x_0$处连续), 若$f’’(x)$在$x_0$的左、右两侧异号,则点$(x_0,f(x_0))$为曲线$y=f(x)$的拐点。
拐点的第二充分条件:如果$f’’(x_0)=0$,看$f’’’(x_0)$,若$f’’’(x_0)\ne 0$,则该点为拐点。
5. 曲线的渐近线
分为水平、垂直、斜渐近线:
水平渐近线:$\lim_{x→\infty}f(x)=A$,则$y=A$为水平渐近线;
垂直渐近线:$\lim_{x→x_0}f(x)=\infty$,则$x=x_0$为垂直渐近线;
斜渐近线:$\lim_{x→\infty}\frac{f(x)}x=a\ (a\ne 0)$且$\lim_{x→\infty}(f(x)-ax)=b$,那么$y=ax+b$是斜渐近线。
为求$y=f(x)$的水平或斜渐进线,需要分别考察下列极限:
若$\lim_{x\to +\infty}f(x),\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}$之一存在,就不必再考察另一极限;对于$x\to-\infty$也是如此。
6. 曲线的弧微分与曲率
定义: 设$y=f(x)$在$(a,b)$内有连续导数,则有弧微分:
定义: 设$y=f(x)$有二阶导数,则有曲率:
称$ρ=\frac1K$为曲率半径。
设曲线的参数方程为$\begin{cases}x=\varphi(t)\\y=ψ(t) \end{cases}(t∈[\alpha,\beta])$,$\varphi(t)$和$ψ(t)$在$[\alpha,\beta]$有二阶导数,则
曲率圆,曲率中心
技巧知识点
①. 利用函数$y=f(x)$的一二阶导数讨论其单调性与极值点,以及图形的凹凸性与拐点和渐近线,系统步骤为:
- 确定$y=f(x)$的定义域与间断点
- 考察$f(x)$的特性,如奇偶性,周期性等
- 求一阶导数$f’(x)$,并求出$f’(x)=0$和$f’(x)$不存在的点, 以确定单调区间和、极值点和极值
- 求二阶导数$f’’(x)$,并求出$f’’(x)=0$和$f’’(x)$不存在的点, 以确定凹凸区间和拐点
- 列表
- 求渐近线
②. 最值点处的导数性质:设$f(x)$在$[a,b]$可导,则$f(x)$在$[a,b]$必存在最大和最小值,
- 若$f(x)$在$x=c∈(a,b)$取最大或最小值,则$f’(c)=0$
- 若$f(x)$在$x=a$处取$[a,b]$上最大(最小)值,则$f’_+(a)\le 0(\ge 0)$
- 若$f(x)$在$x=b$处取$[a,b]$上最大(最小)值,则$f’_-(b)\ge 0(\le 0)$
③. 导函数的中间值定理:设$f(x)$在$(a,b)$可导,$\forall x_1,x_2∈(a,b)$,若$x_1\ne x_2$且$f’(x_1)\ne f’(x_2)$,则对于任何介于$f’(x_1)$和$f’(x_2)$之间的中间值$c$,必存在介于$x_1$和$x_2$之间的$\xi$使得$f’(\xi)=c$.
④. 对于可导函数,可以证明:若$(x_0,f(x_0))$是$y=f(x)$的拐点, 则$x=x_0$不可能是$f(x)$的极值点。但如果$f(x)$在$x=x_0$不可导,则$(x_0,f(x_0))$可同时是$f(x)$的极值点和拐点(这时候只需要考虑$x=x_0$两侧的$f’(x),f’’(x)$是否变号,来判断是否是极值点和拐点)