概率论 第八章:假设检验
8.1 假设检验的基本概念
假设检验是对总体的分布类型或分布类型中的未知参数提出假设,然后根据抽取的样本构造适当的统计量,对假设的真伪做出判断。
8.1.1 假设检验问题
8.1.2 假设检验的基本思想
小概率原理:小概率事件在一次试验中几乎不可能发生,如果发生了,就能确定一些问题。
显著性水平:小概率$P≤α$,$α$越小,显著性越高。
8.1.3 假设检验的一般步骤
①. 提出假设:
例如:
其中$H_0$为原假设, $H_1$为备择假设。
②. 构造检验统计量,只有检验的参数未知,分布类型已知。
例如:
③. 对于给定的显著性水平,确定拒绝域。
例如:
上侧分位数$z_{α/2}$是拒绝原假设$H_0$与否的临界值;$W$为拒绝域。
④. 计算并作出判断,若样本观测值落入拒绝域$W$,则拒绝原假设$H_0$,否则不拒绝原假设(不拒绝并不代表接受)。
8.1.4 假设检验的两类错误
第一类错误:“弃真”,$P\{拒绝H_0|H_0为真\}≤α$。显著性水平$α$为犯第一类错误的最大概率。
第二类错误:“纳伪”,$P\{接受H_0|H_0不真\}=β$
$α$与$β$不能同时变大或者变小。
显著性检验:在讨论假设检验时, 只控制犯第一类错误的概率$α$,而不管犯第二类错误的概率大小, 称对应的$α$为显著性水平。
注:
①. 拒绝$H_0$是有说服力的,接受$H_0$是没有说服力的。$α$越小,说服力越强;接受$H_0$只能说是没有充分的理由拒绝$H_0$才接受的。
②. 原假设$H_0$和备择假设$H_1$并不是平等的。原假设是受保护的假设,因为只有有充分的理由才可以拒绝。
③. 提出假设时,应尽量使后果更严重的错误为第一类错误。因为第一类错误发生的概率可以被控制。
假设检验的三种基本形式:
双侧检验:
单侧检验:
1、右侧检验:
2、左侧检验:
8.2 正态总体参数的假设检验
8.2.1 单个正态总体参数的假设检验
对均值μ的假设检验
$σ^2=σ_0^2$已知
①.双侧检验
提出假设:
当$H_0$成立时,检验统计量:
对于给定的显著性水平$α$:
原假设的拒绝域:
对于给定的样本$(X_1,X_2,…,X_n)$,若$(X_1,X_2,…,X_n)∈W$(等价于检验统计量满足条件:$|Z|≥z_{α/2}$),则拒绝原假设,否则不拒绝原假设。
②. 单侧检验
(1). 右侧检验
提出假设:
当$H_0$成立时,检验统计量:
对于给定的显著性水平$α$:
原假设的拒绝域:
(2). 左侧检验
提出假设:
当$H_0$成立时,检验统计量:
对于给定的显著性水平$α$:
原假设的拒绝域:
$σ^2$未知
①. 双侧检验
提出假设:
当$H_0$成立时,检验统计量:
对于给定的显著性水平$α$:
原假设的拒绝域:
②. 单侧检验
(1).右侧检验
提出假设:
当$H_0$成立时,检验统计量:
对于给定的显著性水平$α$:
原假设的拒绝域:
(2).左侧检验
提出假设:
当$H_0$成立时,检验统计量:
对于给定的显著性水平$α$:
原假设的拒绝域:
对方差$σ^2$的假设检验
$μ$未知
①. 双侧检验
提出假设:
当$H_0$成立时,检验统计量:
对于给定的显著性水平$α$:
原假设的拒绝域:
②. 单侧检验
(1).右侧检验
提出假设:
当$H_0$成立时,检验统计量:
对于给定的显著性水平$α$:
原假设的拒绝域:
(2).左侧检验
提出假设:
当$H_0$成立时,检验统计量:
对于给定的显著性水平$α$:
原假设的拒绝域:
8.2.2 两个正态总体参数的假设检验
对均值$μ$的假设检验
$σ_1^2,σ_2^2$已知
①. 双侧检验
提出假设:
当$H_0$成立时,检验统计量:
对于给定的显著性水平$α$:
原假设的拒绝域:
②. 单侧检验
(1).右侧检验
提出假设:
当$H_0$成立时,检验统计量:
对于给定的显著性水平$α$:
原假设的拒绝域:
(2).左侧检验
提出假设:
当$H_0$成立时,检验统计量:
对于给定的显著性水平$α$:
原假设的拒绝域:
$σ_1^2,σ_2^2$未知
①. 双侧检验
提出假设:
当$H_0$成立时,检验统计量:
对于给定的显著性水平$α$:
原假设的拒绝域:
②. 单侧检验
(1).右侧检验
提出假设:
当$H_0$成立时,检验统计量:
对于给定的显著性水平$α$:
原假设的拒绝域:
(2).左侧检验
提出假设:
当$H_0$成立时,检验统计量:
对于给定的显著性水平$α$:
原假设的拒绝域:
配对$t$检验
①. 双侧检验
$(X_i,Y_i)$不相互独立。
$D_i=X_i-Y_i,i=1,2,…,n$,$D_i\sim N(μ,σ^2)$。
提出假设:
当$H_0$成立时,检验统计量:
原假设的拒绝域:
②. 单侧检验
略
对方差$σ^2$的假设检验
$μ_1,μ_2$未知
①. 双侧检验
提出假设:
当$H_0$成立时,检验统计量:
对于给定的显著性水平$α$:
原假设的拒绝域:
②. 单侧检验
(1).右侧检验
提出假设:
当$H_0$成立时,检验统计量:
对于给定的显著性水平$α$:
原假设的拒绝域:
(2).左侧检验
提出假设:
当$H_0$成立时,检验统计量:
对于给定的显著性水平$α$:
原假设的拒绝域: