数一 不等式证明专题
恒等变换证明
例:要证明$f(x)\le g(x)$,则:
- 只需要证明$f(x)-g(x)\le 0$
- 如果$f(x)\ge 0$,则只需要证明$\frac{f(x)}{g(x)}\le 1$
- 只需要证明$e^{f(x)}\le e^{g(x)}$
- 如果$f(x)>0$,则只需要证明$\ln f(x)\le \ln g(x)$
- ……
放缩
绝对值不等式
①. $-|x|\le x\le |x|$
②. $||x|-|y||\le |x\pm y|\le|x|+|y|,\ \ \forall x,y∈R$
均值不等式
①. $a^2+b^2\ge 2ab,\ \ \forall a,b∈R$
②. $a+b\ge 2\sqrt{ab},\ \ \forall a,b∈R^+$
③. $\frac1{\frac1a+\frac1b}\le \sqrt{ab}\le \frac{a+b}{2}\le \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}},\ \ \forall a,b∈R^+$
取整不等式
$[x]$表示不超过$x$的最大整数。
其它常用不等式
①. $x^2\ge0,|x|\ge 0\ \ \forall x∈R,$当$x=0$时取等号;
②. $|\sin x|\le 1$,$\forall x∈R$,当$x=\frac\pi2+k\pi$时取等号;
③. $|\sin x|\le |x|$,$\forall x∈R$,当$x=0$时取等号;
④. $|x|\le |\tan x|$,$\forall x∈(-\frac\pi2,\frac\pi2)$,当$x=0$时取等号;
⑤. $\frac x{1+x}\le\ln(1+x)\le x$,$\forall x\ge 0$。
⑥. $\frac{x^2}{x^2+y^2}\le 1,\frac{y^2}{x^2+y^2}\le 1,\ \ \forall x,y∈R(x^2+y^2\ne0)$(判断多元函数的连续性常用)
柯西不等式
$n$元离散的柯西不等式
当且仅当$a_i=\lambda b_i\ ,i=1,2,…,n$时等号成立。
连续的二元柯西不等式
设$f(x),g(x)$在$[a,b]$上均连续,则有
当且仅当$f(x)=\lambda g(x)$时等号成立。
利用导数
利用泰勒公式(拉格朗日型余项)
利用凹凸性
定义:设函数$f(x)$在区间$I$上连续,恒有
特别地有:$f(\frac{x_1+x_2}{2})<\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$
则称$f(x)$在$I$上的图形是凹的;如果恒有
特别的有:$f(\frac{x_1+x_2}{2})>\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$
则称$f(x)$在$I$上的图形是凸的。
定理:$f’’(x)>0$凹,$f’’(x)<0$凸。