第五章 大数定律和中心极限定理
5.1 切比雪夫不等式
定理:设随机变量$X$具有数学期望$E(X)=μ$,方差$D(X)=σ^2$,则对于任意正数$ε$,有:
称这一不等式为切比雪夫不等式。
等价形式:
5.2 大数定律
(定性)
定义:设随机变量序列$X_1,X_2,…,X_n,…$,若存在随机变量,若存在随机变量$X$,使得对任意$ε>0$,有
则称序列$X_1,X_2,…,X_n,…$依概率收敛于$X$,记为$X_n \stackrel{p}→X$
定理1(切比雪夫大数定律):设$X_1,X_2,…,X_n,…$是一列两两不相关的随机变量序列,数学期望和方差都存在,且方差有界,即存在常数$C>0$,使得对任意$i$,都有$D(X_i)≤C$,令$Y_n=\frac 1 n \sum_{i=1}^{n}X_i$,则
即对任意$ε>0$,
定理2(伯努利大数定律):在$n$重伯努利实验中,设在每次试验中事件$A$发生的概率均为$p(0<p<1)$,$μ_n$为$n$重伯努利试验中事件$A$发生的次数,则
即对任意$ε>0$,
定理3(辛钦大数定律):设$X_1,X_2,…,X_n,…$是一列独立同分布的随机变量序列,且数学期望存在,即$E(X_i)=μ,i=1,2,…,n…$则
即对任意$ε>0$,
5.3 中心极限定理
(定量)
定理4:设随机变量序列$X_1,X_2,…,X_n,…$独立同分布,且$E(X_i)=μ$,$D(X_i)=σ^2>0$,则随机变量
的分布函数$F_n(x)$满足:
该定理表明,当$n→\infty$时,随机变量$Y_n$的分布将趋于标准正态分布$N(0,1)$。
当$n$充分大时,独立同分布的$n$个随机变量$X_1,X_2,…,X_n$之和$S_n=\sum_{i=1}^n X_i$将近似地服从正态分布$N(nμ,nσ^2)$。
定理(棣莫弗·拉普拉斯定理):设在独立重复序列中,事件$A$发生的概率为$p$,随机变量$Y_n$表示事件$A$在$n$次试验中发生的次数,则对于任意实数$x$,
(二项分布的极限分布是正态分布)
解题技巧
①. 设$X$的密度为$f(x)$,$Y$的密度为$f(-y)$,则有$EY=-EX,DY=DX$。