信号 第三章:连续时间信号与系统的频域分析
3.1 连续时间LTI系统的特征函数
CT LTI系统的特征函数:复指数信号$e^{j\omega t}$(是$e^{st}=e^{(σ+j\omega)t}$,本章均只涉及$σ=0$情况)
系统对$e^{j\omega t}$信号的特征值,即系统函数为:
3.2 连续时间周期信号的傅里叶级数
一个连续时间周期信号$x(t)$的傅里叶级数为:
复指数形式:
三角函数形式:
两者系数的关系为:
3.3 连续时间信号的傅里叶变换
周期信号$x(t)$的傅里叶变换为:
常见的傅里叶变换对:
3.4 傅里叶变换性质
判断周期信号是否是实信号或奇偶性要看其傅里叶级数系数。
实信号的傅立叶级数系数以及傅立叶变换为共轭对称。
3.5 CT LTI系统的频率响应与频率分析
一个冲激响应为$h(t)$的LTI系统可表示为:
其中$H(j\omega)$为单位冲激响应$h(t)$的傅里叶变换,称为频率响应。
输出信号的频谱$Y(j\omega)$等于
则系统的频率响应可表示为:
式中$|H(j\omega)|$称为系统的幅频特性, $\theta(\omega)$称为系统的相频特性。
周期信号激励下的系统响应:周期信号$x(t)$的傅里叶级数展开式为$x(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}a_ke^{jk\omega_0 t},\omega_0=\frac{2\pi}{T_0}$,则系统对该周期信号的响应可表示为:$y(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}a_kH(jk\omega_0)e^{jk\omega_0t}$
当LTI系统可用线性常系数微分方程描述时:
其系统的频率响应为:
则系统对正弦信号的响应为:
3.6 信号滤波与低通滤波器
理想低通滤波器的频域特性为:
其中,$\omega_c$为滤波器的截止频率。
通带,阻带
理想低通滤波器的单位冲激响应$h(t)$为:
注意到,当$t<0$时,$h(t)\ne 0$,因此理想低通滤波器是个非因果系统。
理想低通滤波器的单位阶跃响应$s(t)$为:
要记住: