信号 第四章:离散时间信号与系统的频域分析
3.1 离散时间LTI系统的特征函数
DT LTI系统的特征函数: 离散时间复指数信号$z^n$
系统对$z^n$信号的特征值,即系统函数为:
3.2 离散时间周期信号的傅里叶级数
离散时间傅里叶级数的定义式:
其中$\omega_0=\frac{2\pi}{N}$
表示在求和中,$k$只要取足$N$个相继的整数值即可。
离散时间傅里叶级数系数$a_k$总是存在且唯一,具有周期性:$a_{k+N}=a_k$
3.3 离散时间信号的傅里叶变换
离散时间信号傅里叶变换:
离散时间周期信号的傅里叶变换:
常用的基本傅里叶变换对:
增:
3.4 傅里叶变换性质
对偶性:
离散时间傅里叶级数的对偶性
离散时间傅里叶变换和连续时间傅里叶级数之间的对偶性:
上式表示信号频谱(周期为2π)的傅里叶级数为$x[-k]$
3.5 DT LTI系统的频率响应与频率分析
DT LTI系统的频率响应:
上述$H(e^{j\omega})$称为DT LTI系统频率响应。
输出信号的频谱$Y(j\omega)$等于
则系统的频率响应可表示为:
式中$|H(j\omega)|$称为系统的幅频特性, $\theta(\omega)$称为系统的相频特性。
周期信号激励下的系统响应:输入周期信号$x[n]$的傅里叶级数展开式为:
系统对该周期信号的响应为:
当离散时间LTI系统可以用线性常系数差分方程描述时:
其系统的频率响应为:
则系统对正弦信号的响应为:
知识点补充
①.
②. 要注意时域相乘对于频域的卷积后只留下一个周期的部分。